Sa talaid sa eroplano: sa unsa nga paagi sa paghimo sa? Matang eroplano pagbalanse

Ang eroplano nga luna mahimong gihubit sa lain-laing mga paagi (usa ka tulbok ug vector, ang vector ug ang duha ka puntos, sa tulo ka mga puntos, ug uban pa). Kini mao ang uban sa niini nga sa hunahuna, nga ang eroplano talaid mahimong adunay lain-laing matang. Usab ubos sa pipila ka kahimtang sa eroplano mahimong susama, tindog, intersecting, ug uban pa Sa niini ug makig-istorya sa sini nga artikulo. kita makakat-on sa paghimo sa kinatibuk-ang talaid sa eroplano ug dili lamang.

Ang normal nga porma sa talaid

Ibutang ta nga R mao ang luna _3, nga adunay usa ka rectangular coordinate sistema XYZ. nagpaila kita sa usa ka vector α, nga gipagawas gikan sa punto sa pagsugod O. Pinaagi sa katapusan sa vector α pagkalos eroplano P nga mao ang tindog niini.

Pagtumong sa P sa usa ka arbitraryong punto Q = (x, y, z). Ang radyos vector sa punto Q ilhanan sulat p. Ang gitas-on sa vector katumbas sa α p = IαI ug Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

Kini nga yunit vector, nga gitumong sa direksyon sama sa vector α. α, β ug γ - mga anggulo nga nag-umol sa taliwala sa mga vector ug sa positibo nga direksyon Ʋ luna wasay x, y, z matag. Ang prodyeksyon sa usa ka punto sa vector QεP Ʋ mao ang usa ka kanunay nga mao ang katumbas sa p (p, Ʋ) = p (r≥0).

Sa talaid sa itaas mao ang makahuluganon sa dihang p = 0. Ang bugtong n eroplano sa niini nga kaso, ang motabok punto Oh (α = 0), nga mao ang gigikanan, ug yunit vector Ʋ, gipagawas gikan sa mga punto Oh mahimong tindog P, bisan tuod direksyon niini, nga nagpasabot nga ang vector Ʋ determinado ngadto sa ilhanan. Previous talaid mao ang atong eroplano P, gipahayag sa vector nga porma. Apan sa panglantaw sa iyang mga coordinates mao:

P mao ang labaw pa kay sa o katumbas sa 0. kami nakakaplag sa eroplano talaid sa normal nga nga porma.

Ang kinatibuk-ang talaid

Kon ang talaid sa coordinates padaghanon sa bisan unsa nga gidaghanon nga dili katumbas sa zero, kita makabaton sa talaid nga katumbas niini nga nga naghubit sa mga eroplano. Kini ang mga mosunod nga porma:

Dinhi, A, B, C - mao ang gidaghanon sa mga dungan nga lain-laing mga gikan sa zero. talaid Kini mao ang gitawag nga sa talaid sa kinatibuk-ang dagway sa mga eroplano.

Ang pagbalanse sa mga eroplano. Espesyal nga mga kaso

talaid Ang mahimo sa kinatibuk nga giusab sa dugang nga mga kahimtang. Tagda ang pipila kanila.

Maghunahuna nga ang coefficient usa ka mao ang 0. Kini nagpakita nga ang eroplano susama sa gitino nang daan axis Toro. Sa kini nga kaso, sa dagway sa mga talaid mga kausaban: Wu + CZ + D = 0.

Sa susama, sa dagway sa talaid ug vary sa mosunod nga mga kondisyon:

• Una, kon B = 0, sa talaid kausaban sa Axe + CZ + D = 0, nga nagpakita sa paralelismo sa axis Oy.
• Ikaduha, kon P = 0, sa talaid nga mausab ngadto sa Axe + Pinaagi + D = 0, nga mao ang sa pag-ingon mahitungod sa susama sa gitino nang daan axis Oz.
• Ikatulo, kon D = 0, sa talaid makita nga ingon sa Axe + Pinaagi + CZ = 0, nga nagpasabot nga ang mga eroplano intersects Oh (sa sinugdanan).
• Ikaupat, kon ang usa ka = B = 0, sa talaid kausaban sa CZ + D = 0, nga mapamatud-an nga paralelismo Oxy.
• Ikalima, kon B = C = 0, sa talaid mahimong Axe + D = 0, nga nagpasabot nga ang eroplano mao ang susama sa Oyz.
• Sixthly, kon usa ka = C = 0, sa talaid nga makakuha sa dagway Wu + D = 0, pananglitan, ang report sa paralelismo Oxz.

Porma sa talaid sa bahin

Sa kaso diin ang mga numero A, B, C, D lain-laing gikan sa zero, sa dagway sa talaid (0) mahimong ingon sa mosunod:

x / sa usa ka + y / b + z / c = 1,

diin ang usa ka = -D / A, b = -D / B, c = -D / C.

kita makadawat ingon sa usa ka resulta talaid sa eroplano sa mga bahin. Kini kinahanglan nga nakita nga kini nga eroplano nga motadlas sa mga x-axis sa punto uban sa coordinates (ang usa ka, 0,0), Oy - (0, b, 0), ug oz - (0,0, s).

Tungod sa talaid x / sa usa ka + y / b + z / c = 1, kini dili lisud nga sa paghanduraw sa placement eroplano paryente ngadto sa usa ka gitino nang daan coordinate sistema.

Ang coordinates sa normal nga vector

Ang normal nga vector n sa eroplano P may coordinates nga mao ang mga coefficients sa kinatibuk-ang talaid sa eroplano, pananglitan n (A, B, C).

Aron sa pagtino sa coordinates sa normal nga n, kini igo na nga masayud sa kinatibuk-ang talaid nga gihatag eroplano.

Diha nga ang paggamit sa talaid sa bahin, nga may porma x / sa usa ka + y / b + z / c = 1, sama sa diha nga ang paggamit sa kinatibuk-ang talaid nga gisulat coordinates sa bisan unsa nga normal nga vector sa usa ka gihatag eroplano: (1 / sa usa ka + 1 / b + 1 / c).

Kini kinahanglan nga nakita nga ang mga normal nga vector sa pagtabang sa pagsulbad sa mga nagkalain-laing mga problema. Ang labing komon nga problema sa mga nga naglangkob sa pamatuod tindog o susama eroplano, ang tahas sa pagpangita sa mga anggulo sa taliwala sa mga ayroplano o ang mga anggulo sa taliwala sa mga eroplano ug sa tul-id nga linya.

Type sumala sa eroplano talaid ug coordinates sa punto normal nga vector

Usa ka nonzero vector n, tindog sa usa ka gihatag nga eroplano, nga gitawag normal (normal) ngadto sa usa ka gitino nang daan nga eroplano.

Ibutang ta nga sa coordinate luna (usa ka rectangular coordinate system) Oxyz gibutang:

• Mₒ punto uban sa coordinates (hₒ, uₒ, zₒ);
• zero vector n = Usa ka * i + B * f + C * k.

Ikaw kinahanglan aron sa paghimo sa talaid sa eroplano nga moagi Mₒ punto tindog sa normal nga n.

Sa luna kita mopili sa bisan unsa nga arbitraryong punto ug magtumong sa M (x, y, z). Himoa nga ang radyos vector sa matag punto M (x, y, z) mahimong r = x * i + y * f + z * k, ug ang radyos vector sa usa ka punto Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ * j + zₒ * k. Ang punto M nga iya sa usa ka gihatag nga eroplano, kon ang vector MₒM nga tindog sa vector n. isulat kita sa kahimtang sa orthogonality sa paggamit sa scalar produkto:

[MₒM, n] = 0.

Sukad MₒM = r-rₒ, ang vector talaid sa eroplano motan-aw sama niini:

[R - rₒ, n] = 0.

talaid Kini mahimo usab nga adunay lain nga porma. Tungod niini nga katuyoan, ang mga kabtangan sa mga produkto scalar, ug nakabig sa wala nga kiliran sa talaid. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. Kon [rₒ, n] gipaila ingon nga s, kita makabaton sa mosunod nga talaid: [r, n] - usa ka = 0 o [r, n] = s, nga nagpahayag sa pagkamakanunayon sa sa kahaligian sa normal nga vector sa radyos-vector sa gihatag nga mga punto nga iya eroplano.

Karon nga imong mahimo sa pagkuha sa mga coordinate matang recording eroplano sa atong vector talaid [r - rₒ, n] = 0. Sukad r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * k, ug n = Usa ka * i + B * j + C * k, kita adunay:

Kini turns nga kita adunay sa talaid nga nag-umol eroplano miagi sa punto tindog sa normal nga n:

Usa ka * (x hₒ) + B * (y uₒ) S * (z-zₒ) = 0.

Type sumala sa eroplano talaid ug coordinates sa duha ka puntos sa vector eroplano tános

Kita kahulugan sa duha ka arbitraryong puntos M '(x', y ', z') ug M "(x", y ", z"), ingon man ang mga vector (usa ka ', usa ka ", usa ka ‴).

Karon nga kita isulat talaid gitino nang daan nga eroplano nga moagi sa kasamtangan nga punto M 'ug M ", ug ang matag punto sa mga coordinates M (x, y, z) susama sa usa ka gihatag nga vector.

Mao kini ang M'M vector x = {x ', y-y'; zz '} ug M "M = {x" -x', y 'y'; z "-z '} kinahanglan nga coplanar sa vector sa usa ka = (usa ka ', usa ka ", usa ka ‴), nga nagpasabot nga (M'M M" M, ang usa ka) = 0.

Busa ang atong talaid sa usa ka eroplano sa luna motan-aw sama niini:

Matang sa eroplano talaid, sa pagtabok sa tulo ka mga puntos

Ang ni-ingon nga kita sa tulo ka puntos: (x ', y', z '), (x', y ', z'), (x ‴ Pagbaton ‴, z ‴), nga dili iya sa sama nga linya. Kini mao ang gikinahanglan sa pagsulat talaid sa eroplano miagi sa tulo ka puntos bungat. geometry teoriya lantugi nga kini nga matang sa eroplano anaa, kini usa lamang ka lang. Tungod kay kini nga eroplano intersects sa punto (x ', y', z '), ang talaid nga porma nga:

Dinhi, A, B, ug C lahi zero sa mao nga panahon. Gihatagan usab eroplano intersects duha pa ka mga puntos (x ", y", z ") ug (x ‴, y ‴, z ‴). Sa niini nga koneksyon kinahanglan nga gidala sa gawas niini nga matang sa mga kahimtang:

Karon nga kita paghimo sa usa ka uniporme nga sistema sa mga pagbalanse (linear) uban sa mga unknowns u, v, w:

Sa atong kahimtang x, y o z nagbarug arbitraryong punto nga motagbaw talaid (1). Naghunahuna sa talaid (1) ug sa usa ka sistema sa mga pagbalanse (2) ug (3) sa sistema sa mga pagbalanse sa gipakita sa sa numero sa ibabaw, ang vector nagtagbaw A (A, B, C) nga mao ang nontrivial. Kini tungod kay ang determinant sa sistema sa mao zero.

Talaid (1) nga na kita, kini mao ang talaid sa eroplano. 3 punto siya gayud moadto, ug kini sayon sa pagsusi. Sa pagbuhat niini, sa pagpalapad sa kita sa determinant sa mga elemento sa unang laray. Sa kasamtangan nga kabtangan determinant mosunod nga ang atong eroplano dungan intersects ang tulo ka orihinal gitino nang daan nga punto (x ', y', z '), (x ", y", z "), (x ‴, y ‴, z ‴). Busa kami nakahukom sa Gisingil sa atubangan sa kanato.

Dihedral anggulo sa taliwala sa mga eroplano

Dihedral anggulo mao ang usa ka spatial geometric porma nag-umol sa duha ka katunga-nga-planes nga nagagikan sa usa ka tul-id nga linya. Sa laing mga pulong, nga bahin sa luna nga limitado sa katunga-nga-eroplano.

Pananglitan kita adunay duha ka eroplano sa mosunod nga mga pagbalanse:

Kita nasayud nga ang vector A = (A, B, C) ug N¹ = (A¹, H¹, S¹) sumala sa gitino nang daan eroplano mga tindog. Bahin niini, ang anggulo φ tali sa mga vector sa A ug N¹ managsama anggulo (dihedral), nga nahimutang sa taliwala sa mga eroplano. Ang scalar produkto gihatag pinaagi sa:

NN¹ = | A || N¹ | cos φ,

tungod kay

cosφ = NN¹ / | A || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + s² + V²)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

Kini mao ang igo sa paghunahuna nga ang 0≤φ≤π.

Pagkatinuod sa duha ka eroplano nga motadlas, porma sa duha ka anggulo (dihedral): φ ₁ ug φ _2. Ang ilang padron katumbas sa π (φ ₁ + φ ₂ = π). Sama sa alang sa ilang mga cosines, ang ilang bug-os nga mga prinsipyo managsama, apan sila sa lain-laing mga ilhanan, nga mao, cos φ ₁ = -cos φ _2. Kon sa talaid (0) gipulihan sa A, B ug C sa -Usa ka, -B ug -c sa tinagsa, sa talaid, makabaton kita, ang pagtino sa mao gihapon nga eroplano, ang bugtong anggulo φ sa talaid cos φ = NN ¹ / | N || N ¹ | Kini nga gipulihan sa π-φ.

Sa talaid sa tindog eroplano

Gitawag tindog eroplano, sa taliwala sa nga ang anggulo mao ang 90 degrees. Pinaagi sa paggamit sa materyal nga nga gipresentar sa ibabaw, kita makakaplag sa talaid sa usa ka eroplano tindog sa uban nga mga. Kon kita adunay duha ka eroplano: Axe + Pinaagi + CZ + D = 0, ug + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. Kita moingon nga sila orthogonal kon cos = 0. Kini nagpasabot nga NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

Sa talaid sa usa ka susama nga eroplano

Kini naghisgot sa duha ka susama eroplano nga naglakip dili puntos sa komon.

Ang kahimtang sa mga susama eroplano (sa ilang mga pagbalanse mao ang mga sama sa miaging parapo) mao nga ang mga vector sa A ug N¹, nga mao ang mga tindog kanila, tános. Kini nagpasabot nga ang mga mosunod nga mga kondisyon matuman proportionality:

Usa ka / A¹ = B / C = H¹ / S¹.

Kon ang timbang nga mga termino gipalapdan - Usa ka / A¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

kini nagpakita nga ang data eroplano sa sa mao gihapon nga. Kini nagpasabot nga ang talaid Axe + Pinaagi + CZ + D = 0 ug + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 paghulagway sa usa ka eroplano.

Ang gilay-on gikan sa punto sa eroplano

Pananglitan kita adunay usa ka eroplano P, nga gihatag pinaagi sa (0). Kini mao ang gikinahanglan aron sa pagpangita sa gilay-on gikan sa punto sa mga coordinates (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , Ikaw kinahanglan nga dad-on sa talaid sa eroplano II normal nga panagway sa paghimo niini:

(Ρ, v) = p (r≥0).

Sa kini nga kaso, ρ (x, y, z) mao ang radyos vector sa atong punto Q, nga nahimutang sa n p - n mao ang gitas-on sa tindog, nga gipagawas gikan sa zero punto, v - mao ang yunit vector, nga gihan-ay sa sa direksyon sa usa ka.

Ang kalainan ρ-ρº radyos vector sa usa ka punto Q = (x, y, z), nga sakop sa n ug sa radyos vector sa usa ka gihatag nga punto Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) mao ang ingon nga sa usa ka vector, ang bug-os nga bili sa prodyeksyon sa nga sa v katumbas sa gilay-on d, nga mao ang gikinahanglan aron sa pagpangita gikan sa Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) sa P:

D = | (ρ-ρ ^0, v) |, apan

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v ) - (ρ ^0, v) = p (ρ ^0, v).

Busa kini turns sa,

d = | (ρ ^0, v) p |.

Karon kini mao ang tin-aw nga sa pagkalkulo sa gilay-on d gikan sa ₀ ngadto sa Q eroplano P, kini mao ang gikinahanglan nga sa paggamit sa normal nga panglantaw eroplano talaid, ang pagbalhin sa wala sa p, ug sa katapusan nga dapit sa x, y, z puli (hₒ, uₒ, zₒ).

Busa, atong makita ang bug-os nga bili sa mga resulta nga ekspresyon nga ang gikinahanglan d.

Pinaagi sa paggamit sa mga lantugi sa pinulongan, kita sa klaro kaayo:

d = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).

Kon ang bungat punto Q ₀ anaa sa pikas nga bahin sa eroplano P ingon sa sinugdanan, dayon sa taliwala sa vector ρ-ρ ⁰ ug v mao ang usa ka obtuse anggulo, sa ingon niini:

d = - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0.

Sa kaso sa diha nga ang punto Q ₀ inubanan sa sa sinugdanan nga nahimutang sa samang dapit sa kilid sa sa U, ang mahait anggulo gibuhat, nga mao ang:

d = (ρ-ρ ^0, v) = p - (ρ ^0, v)> 0.

Ang resulta mao nga sa unang mga kaso (ρ ^0, v)> p, sa ikaduha (ρ ^0, v)

Ug ang iyang ARANGKADA eroplano talaid

Mahitungod sa eroplano sa nawong sa punto sa tangency Mº - sa usa ka eroplano nga naglangkob sa tanan nga posible nga ARANGKADA sa kurba inibut nga pinaagi sa punto nga sa ibabaw sa nawong.

Uban niini nga nawong nga porma sa talaid F (x, y, z) = 0 sa talaid sa ARANGKADA eroplano ARANGKADA point Mº (hº, uº, zº) nga:

F _x (hº, uº, zº) (hº x) + F _x (hº, uº, zº) (uº y) + F _x (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.

Kon ang nawong mao ang tin-aw z = f (x, y), unya ang ARANGKADA eroplano gihulagway sa talaid:

z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y uº).

Ang intersection sa duha ka eroplano

Sa tulo-ka-dimensional nga luna mao ang usa ka coordinate system (rectangular) Oxyz, nga gihatag sa duha ka eroplano P 'ug P' nga sapaw ug dili motakdo. Sukad sa bisan unsa nga eroplano, nga anaa sa usa ka rectangular coordinate sistema gihubit sa kinatibuk-ang talaid, kita maghunahuna nga ang n 'ug n "mga gihubit sa pagbalanse A'x + V'u S'z + + D' = 0 ug usa ka" + B x '+ y uban sa "z + D" = 0. Sa kini nga kaso nga kita normal n '(A', B ', C') sa eroplano P 'ug ang normal nga n "(A", B ", C") sa eroplano P'. Samtang ang atong eroplano dili susama sa, ug dili motakdo, nan kini nga mga vector dili tános. Pinaagi sa paggamit sa pinulongan sa matematika, kita niini nga kahimtang mahimong gisulat ingon nga: n '≠ n "↔ (Usa ka', B ', C') ≠ (λ * Ug", λ * Sa ", λ * C"), λεR. Himoa nga ang tul-id nga linya nga nahimutang sa eskina P 'ug P ", nga gipaila pinaagi sa sulat sa usa ka, sa niini nga kaso sa usa ka = P' ∩ P".

ug - sa usa ka linya nga naglangkob sa usa ka dinaghan nga mga puntos (komon) eroplano P 'ug P ". Kini nagpasabot nga ang mga coordinates sa bisan unsa nga punto nga iya sa linya sa usa ka, kinahanglan nga dungan sa pagtagbaw sa talaid A'x + V'u S'z + + D '= 0 ug usa ka "x + B' + C y" z + D "= 0. Kini nagpasabot nga ang mga coordinates sa punto mahimong usa ka partikular nga solusyon sa mga mosunod nga mga pagbalanse:

Ang resulta mao nga ang solusyon (kinatibuk-ang) sa niini nga sistema sa mga pagbalanse ang pagtino sa coordinates sa matag usa sa mga puntos sa linya nga molihok ingon nga ang mga punto sa intersection P 'ug P ", ug sa pagtino sa usa ka linya sa usa ka coordinate sistema Oxyz (rektanggulo) luna.