Pendulo: panahon ug pagpatulin sa pormula

Ang mekanikal nga sistema nga naglangkob sa usa ka materyal nga punto (sa lawas), nga nagbitay sa usa ka-kabug-at inextensible filament (sa iyang masa mao ang negligible itandi sa gibug-aton sa lawas) diha sa usa ka uniporme grabidad uma, nga gitawag sa mga matematika pendulo (lain nga ngalan - ang oscillator). Adunay uban nga mga matang sa mga lalang. Kay sa usa ka filament-kabug-at nga sungkod mahimong gamiton. Pendulo mahimo sa tin-aw nagpadayag sa diwa sa daghan nga mga makapaikag nga mga butang katingalahan. Sa diha nga gamay nga amplitude vibrations sa iyang motion gitawag mahunihon.

Kinatibuk-ang impormasyon bahin sa mekanikal nga sistema

Ang pormula sa pagtaas ug paghubas panahon sa pendulo nga brid sa pinulongang Dutch siyentista Huygens (1629-1695 GG.). Kini nga katalirongan ni Isaac Newton kaayo fond sa mga mekanikal nga sistema. Sa 1656 iyang gilalang ang unang pagbantay sa usa ka pendulum mekanismo. Sila gisukod ang panahon uban sa grabeng katukma sa mga panahon. pagmugna Kini mao ang usa ka mayor nga lakang sa pagpalambo sa pisikal nga mga eksperimento ug praktikal nga mga kalihokan.

Kon ang pendulo anaa sa usa ka normal nga mga buluhaton nga posisyon (nagbitay vertically), ang puwersa sa grabidad nga timbang sa hilo tension nga pwersa. Flat pendulo sa usa ka non-stretchable magbubuhat mao ang usa ka sistema uban sa duha ka degrees sa kagawasan sa komunikasyon. Sa diha nga ang pag-usab sa usa lamang ka bahin sa pag-usab sa mga kinaiya sa tanan nga mga bahin niini. Pananglitan, kon ang usa ka lugas nga hilo nga gipulihan sa usa ka sungkod, nan kini mekanikal nga sistema mao lamang 1 nga matang sa kagawasan. Unsa, dayon, ang mga kabtangan sa usa ka sa matematika pendulo? Sa niining yano nga sistema, ubos sa impluwensya sa usa ka periodic kabalisa, kagubot makita. Sa kaso nga, sa diha nga ang suspension punto dili sa pagbalhin, ug mopataas og usa ka pendulo adunay usa ka bag-o nga normal nga mga buluhaton nga posisyon. Kon paspas nga pagsaka-kanaog ug sa niini nga mekanikal nga sistema mahimong lig-on nga posisyon "upside sa." Kini usab adunay ngalan niini. Kini mao ang gitawag nga Kapitza pendulum.

Ang mga kabtangan sa pendulo

Pendulo adunay kaayo makapaikag nga kabtangan. Ang tanan nga kanila ang gisuportahan sa pag-ayo-nga nailhan pisikal nga mga balaod. Ang panahon sa pagtaas ug paghubas sa mga pendulo sa bisan unsa nga sa uban nga mga nag-agad sa mga nagkalain-laing mga kahimtang sama sa gidak-on ug porma sa lawas, ang gilay-on sa taliwala sa mga punto sa suspension ug ang sentro-de-grabidad, gibug-aton-apod-apod uban sa pagtahod ngadto sa niini nga punto. Mao nga ang kahulogan sa panahon nga nagbitay nga lawas mao ang na mahagiton. Mao ang mas sayon nga kuwentahon sa panahon sa usa ka yano nga pendulo, ang pormula nga gihatag sa ubos. Ingon sa usa ka resulta sa obserbar niini nga mga sumbanan mahimong ibutang sa susamang mga mekanikal nga sistema sa:

• Kon, samtang pagmintinar sa mao usab nga gitas-on sa pendulum, gisuspenso gikan sa usa ka matang sa mga karga, sa panahon sa ang pagtaas ug paghubas sa pagkuha sa mao usab, bisan sa ilang gibug-aton ang vary sa hilabihan gayud. Busa, ang panahon sa mga pendulo wala magdepende sa gibug-aton sa load.

• Kon ang sistema sa magsugod sa pagbalibad sa pendulo dili kaayo dagko nga, apan sa lain-laing mga anggulo, kini usab-usab uban sa sama nga panahon, apan sa lain-laing mga kadako. Samtang pagtipas gikan sa sentro sa timbangan dili kaayo dako nga pagsaka-kanaog sa ilang dagway mahimong suod nga igo mahunihon. Ang panahon sa maong usa ka pendulo wala magdepende sa vibrational amplitude. Kini nga kabtangan sa mga mekanikal nga sistema mao ang gitawag nga isochronism (sa Griego "chronos" - panahon "Izosov" - managsama).

Ang panahon sa usa ka yano nga pendulo

Kini nga numero nagrepresentar sa natural nga panahon sa pagtaas ug paghubas. Bisan pa sa komplikado nga pagmugna, ang proseso sa iyang kaugalingon mao ang kaayo mga walay-pagtagad. Kon ang gitas-on sa hilo sa matematika pendulo L, ug ang grabidad pagpatulin g, kini nga bili mao ang magsama:

T = 2π√L / g

Gamay nga panahon sa natural nga oscillations sa walay paagi wala magdepende sa masa sa pendulo ug ang pagtaas ug paghubas amplitude. Sa kini nga kaso, ingon sa usa ka matematika pendulo nagalihok uban sa pagkunhod sa gitas-on.

Oscillations sa usa ka sa matematika pendulo

Sa matematika pendulo mopataas, nga mahimong gihulagway pinaagi sa usa ka yano nga differential talaid:

x + ω2 sala x = 0,

diin x (t) - wala mailhi function (kini anggulo sa pagtipas gikan sa ubos nga posisyon sa panimbang sa panahon t, gipahayag sa radians); ω - sa usa ka positibo nga kanunay nga nga determinado gikan sa mga lantugi sa pendulo (ω = √g / L, diin g - ang pagpatulin sa grabidad, ug L - ang gitas-on sa usa ka yano nga pendulo (suspension).

Talaid gagmay nga oscillations duol sa normal nga mga buluhaton posisyon (mahunihon talaid) ingon sa mosunod:

x + ω2 sala x = 0

Oscillatory motion sa pendulo

Pendulum, nga naghimo sa gagmay nga oscillations, pagbalhin sinusoid. Ikaduhang aron differential talaid magtigum sa tanan nga mga gikinahanglan ug lantugi sa maong kalihukan. Aron sa pagtino sa dalan nga imong gikinahanglan aron sa sa speed ug coordinates, nga sa ulahi determinado independente mabag:

x = Usa ka sala (θ ₀ + ωt),

diin θ ₀ - inisyal nga hugna, usa ka - amplitude sa daku kini'g makaon, ω - cyclic frequency determinado gikan sa pagbalanse sa motion.

Pendulo (pormula alang sa dako nga kadako)

Kini nga mekanikal nga sistema, paghimo sa ilang mga oscillations sa usa ka dako nga amplitude, kini mao ang subject sa mas komplikado nga mga balaod sa trapiko. sila gituyo sumala sa pormula alang sa maong usa ka pendulo:

sala x / 2 = u * sn (ωt / u),

diin sn - sine Jacobi, nga alang sa u <1 mao ang usa ka periodic function, ug alang sa gagmay nga u kini atol sa yano nga trigonometric sine. Ang bili sa u determinado sa mosunod nga ekspresyon:

u = (ε + ω2) / 2ω2,

diin ε = E / mL2 (mL2 - enerhiya sa pendulum).

Determinasyon sa dili diretso daku kini'g makaon nga panahon sa pendulo sa mosunod nga pormula:

T = 2π / Ω,

diin Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K - kurbado integral, π - 3,14.

ang pendulo kalihukan sa separatrix

Kini gitawag separatrix trajectory sa dinamikong sistema, diin ang usa ka duha ka-dimensional nga bahin luna. Pendulo nagalihok sa ibabaw sa usa ka non-matag. Sa walay katapusang halayo nga punto sa panahon nga kini tulo gikan sa grabeng ibabaw nga posisyon sa usa ka zero speed, ug unya kini hinay-hinay nga pag-angkon. Siya sa katapusan mihunong, mibalik sa iyang orihinal nga posisyon.

Kon ang amplitude sa pagtaas ug paghubas sa mga pendulo moduol sa gidaghanon pi, kini miingon nga ang motion sa bahin eroplano mao ang duol sa separatrix. Sa kini nga kaso, sa ilalum sa mga aksyon sa usa ka gamay nga matag puwersa sa driving sa mekanikal nga sistema mopakita chaotic kinaiya.

Sa panghitabo sa usa ka yano nga pendulo gikan sa panimbang posisyon uban sa usa ka anggulo cp mahitabo tangential puwersa sa Fτ = -mg sala φ grabidad. "Minus" ilhanan nagpasabot nga ang mga tangential component gitumong sa atbang nga direksyon gikan sa direksyon sa pagtipas sa pendulum. Sa dihang naghisgot pinaagi sa pendulo pagbakwit x sa daplin sa usa ka circular arko sa usa ka radyos L mao nga sama sa iyang eskinado pagpabakwit φ = x / L. Ang ikaduhang balaod Isaaka Nyutona, gidisenyo alang sa projection sa pagpatulin vector ug kusog sa paghatag sa gitinguha nga bili:

mg τ = Fτ = -mg sala x / L

Base sa niini nga ratio, kini mao ang tin-aw nga ang pendulo mao ang usa ka dili diretso nga sistema, ingon sa usa ka puwersa nga mga kahilig sa pagbalik sa iyang normal nga mga buluhaton posisyon, dili kanunay ang nagkaigo sa pagbakwit x, usa ka sala x / L.

Lamang sa diha nga ang matematika pendulo nagbuhat gagmay nga vibrations, kini mao ang usa ka mahunihon oscillator. Sa laing mga pulong, kini mahimo nga usa ka mekanikal nga sistema makahimo sa pagbuhat sa mahunihon oscillations. gibanabana Kini mao ang balido alang sa hapit angles 15-20 °. Pendulo uban sa dako nga kadako dili harmonious.

balaod ni Newton alang sa gagmay nga mga oscillations sa usa ka pendulum

Kon ang mekanikal nga sistema nagbuhat gamay oscillations, balaod sa 2nd Newton ni motan-aw sama niini:

mg τ = Fτ = M * g / L * x.

Sa niini nga basehan, makahinapos kita nga ang tangential pagpatulin sa usa ka yano nga pendulo mao ang nagkaigo sa iyang pagpalayas sa mga ilhanan "minus". Kini mao ang usa ka kahimtang diin ang sistema mahimo nga usa ka mahunihon oscillator. Module proportionality butang tali sa pagbakwit ug sa pagpatulin katumbas sa square sa eskinado frequency:

ω02 = g / L; ω0 = √ g / L.

pormula Kini nagpakita sa natural nga frequency sa mga gagmay nga oscillations sa niini nga matang sa pendulo. Sa niini nga basehan,

T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.

Kalkulasyon base sa balaod sa pagkonserba sa enerhiya

Properties oscillating pendulo lihok sa mahimong gihulagway uban sa tabang sa mga balaod sa conservation sa enerhiya. Kini kinahanglan nga palas-anon diha sa hunahuna nga ang potensyal nga kusog sa mga pendulo sa usa ka grabidad uma mao:

E = mgΔh = mgL (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2

Full mekanikal nga enerhiya katumbas sa kinetic ug maximum potensyal: Epmax = Ekmsx = E

Human imong gisulat sa balaod sa conservation sa enerhiya, nga sa nga naggikan sa sa wala ug sa tuo nga kilid sa talaid:

EP + Ek = const

Sukad sa pulong nga naggikan sa mga mabag mao ang katumbas sa 0, nan (EP + Ek) '= 0. Ang pulong nga naggikan sa isip sa gidaghanon katumbas sa padron sa mga naggumikan:

EP '= (mg / L * x2 / 2)' = mg / 2L * 2x * x '= mg / L * v + Ek' = (mv2 / 2) = m / 2 (v2) '= m / 2 * 2v * v '= mv * α,

Busa:

Mg / L * xv + MVA = v (mg / L * x + m α) = 0.

Base sa katapusan nga pormula, atong makita: α = - g / L * x.

Praktikal nga paggamit sa matematika pendulo

Acceleration sa free pagkapukan magkalahi sa latitude, tungod kay ang Densidad sa sa tinapay sa palibot sa planeta dili susama. Diin bato mahitabo uban sa usa ka mas taas nga Densidad, kini mahimong gamay mas taas. Pagpatulin sa matematika pendulo sagad gigamit alang sa eksplorasyon. Sa iyang tabang-aw alang sa lain-laing mga minerales. sa pag-ihap lamang sa gidaghanon sa mga oscillations sa usa ka pendulum, kini mao ang posible nga sa pag-ila sa coal o bato diha sa kasingkasing sa Yuta. Kini mao ang tungod sa kamatuoran nga kini nga mga mga kapanguhaan nga adunay usa ka Densidad ug gibug-aton sa labaw pa kay sa nga sa ilalum sa luag nga mga bato.

Matematika pendulo nga gigamit sa maong mga prominente nga mga eskolar sama sa Socrates, Aristotle, Plato, Plutarch, Archimedes. Daghan kanila ang nagtuo nga ang mekanikal nga sistema mahimong impluwensya sa kapalaran ug sa kinabuhi. Archimedes gigamit sa matematika pendulo uban sa iyang mga kalkulasyon. Karong panahona, daghang occultists ug mga psychics sa paggamit niini nga mekanikal nga sistema alang sa pagpatuman sa mga tagna niini, o sa search alang sa nawala nga mga tawo.

Ang bantog nga Pranses astronomo ug siyentista, Flammarion alang sa ilang research gigamit usab sa usa ka matematika pendulo. Siya nag-angkon nga uban sa iyang tabang siya nakahimo sa pagtagna sa pagkadiskobre sa usa ka bag-o nga planeta, ang pagtunga sa mga Tunguska meteorite, ug uban pang mga importante nga mga panghitabo. Atol sa Ikaduhang Gubat sa Kalibutan didto sa Germany (Berlin) nagtrabaho isip usa ka espesyalista institute sa pendulum. Karong panahona, ang maong research dili anaa sa Munich Institute sa Parapsychology. Sa Iyang buhat uban sa pendulo sa sungkod niining institusyon nga gitawag "radiesteziey".