Unsa nga paagi sa kuwentahon sa dapit sa usa ka piramid: ang base, kilid ug puno?

Sa pagpangandam alang sa exam sa mga estudyante matematika nga systematize sa kahibalo sa algebra ug geometriya. Gusto ko nga sa pag-combine sa tanan nga nailhan nga impormasyon, sama sa kon unsaon sa kuwentahon ang dapit sa usa ka piramide. Dugang pa, sugod gikan sa ubos ug sa kilid-atubang hangtud sa tibook nga nawong dapit. Kon ang kilid atubang sa sitwasyon mao ang tin-aw, ingon nga sila mao triangles, nga mga dautang mao ang kanunay nga lain-laing mga.

Unsa nga paagi sa nga sa diha nga sa dapit sa sa tungtunganan sa piramide?

Kini mahimong na sa bisan unsa nga numero gikan sa usa ka arbitraryong triyanggulo sa n-gon. Ug kini base, gawas sa kalainan sa gidaghanon sa mga anggulo, mahimong husto o sayop nga numero. Sa sa interes sa mga estudyante nga mga buluhaton sa pasulit makita lamang trabaho uban sa mga husto nga numero sa tungtonganan. Busa, lamang kita makig-istorya mahitungod kanila.

tumbaslíd triangle

Nga mao ang tumbaslíd. Usa nga ang tanan nga partido mao ang patas ug gitudlo sa sulat "sa usa ka". Sa kini nga kaso, ang mga dautang dapit sa piramid nga kalkulado pinaagi sa pormula:

S = (sa usa ka ² * √3) / 4.

square

pormula nga kuwentahon sa iyang dapit mao ang simple, mao ang "usa ka" - kiliran mao ang pag-usab:

Ug S = ^2.

Arbitraryong regular nga n-gon

Sa sa mga kiliran sa dagíway sa sama nga pagtawag. Kay ang gidaghanon sa mga anggulo nga gigamit Latin nga sulat n.

S = (n * sa usa ka ²⁾ / (4 * GK (180º / n)) .

Sa unsa nga paagi sa pagsulod sa pagtantiya, pagbanabana sa dapit sa mga lateral ug puno nawong?

Sukad sa base nga numero mao ang husto, unya ang tanang mga nawong sa mga piramide managsama. Sa matag usa sa nga mao ang usa ka duhálid triyanggulo, sukad sa kilid sulab managsama. Dayon, aron sa pagkalkulo sa dapit sa usa ka kilid sa piramide kinahanglan pormula nga naglangkob sa isip sa gidaghanon sa monomials susama. Ang gidaghanon sa mga termino mao ang gitinguha sa mga kantidad sa mga kiliran base.

Ang dapit sa usa ka duhálid triangle ang computed sa pormula diin katunga sa mga produkto base modaghan sa gitas-on. Kini nga gitas-on sa payramid nga gitawag apothem. Niini nga ngalan - "Usa ka". Ang kinatibuk-ang pormula alang sa dapit sa mga lateral nga nawong mao ang sama sa mosunod:

S = ½ P * A, diin P - perimeter sa base sa piramide.

Adunay mga panahon sa diha nga kini wala makaila sa base nga kiliran, apan ang kilid sulab mao (sa usa ka) patag ug ang mga anggulo sa sa apex (α). Unya kini nagsalig sa paggamit sa mosunod nga pormula sa pagkalkulo sa lateral nga dapit sa payramid:

S = n / 2 sa ² * sala α.

Task № 1

Nga kahimtang. Pangitaa ang kinatibuk dapit sa piramide, kon ang tungtunganan niini mao ang usa ka tumbaslíd triyanggulo uban sa usa ka kilid sa 4 cm ug ang bili √3 apothem cm.

Desisyon. Kini kinahanglan nga magsugod uban sa mga kalkulasyon sa perimeter base. Tungod kay kini mao ang usa ka regular nga triangle, nan P = 3 * 4 = 12 cm apothem Ingon sa nailhan, ang usa ka tawo diha-diha dayon kuwentahon ang dapit sa tibuok lateral nga nawong :. ½ * 12 * √3 = 6√3 ^cm2.

Aron makabaton sa base triyanggulo mao ang bili sa maong dapit (4 ² * √3) / 4 = 4√3 ^cm2.

Aron sa pagtino sa bug-os nga nga dapit kinahanglan nga pilo sa duha ka mga mithi: 6√3 + 4√3 = 10√3 ^cm2.

Tubag. 10√3 ^cm2.

Problema № 2

Nga kahimtang. Adunay usa ka regular nga quadrangular piramide. Ang gitas-on sa base mao nga sama ngadto sa 7 mm, ang lateral ngilit - 16 mm. Ikaw kinahanglan nga masayud sa iyang mga nawong nga dapit.

Desisyon. Sukad sa polyhedron - rectangular ug husto, diha sa tiilan niini mao ang usa ka square. Ang pagkadungog sa base nga dapit ug lateral kilid makahimo sa pag-ihap sa mga square piramide. Ang pormula alang sa square gihatag sa ibabaw. Ug ako nasayud sa tanan nga mga kilid nawong sa triyanggulo. Busa, kamo makahimo sa paggamit ni Heron pormula alang sa pagkalkulo sa ilang mga dapit.

Ang unang kalkulasyon mga yano ug mosangpot sa niini nga gidaghanon: 49 mm ^2. Sa pagkalkulo sa ikaduha nga bili kinahanglan semiperimeter: (7 + 16 * 2): 2 = 19.5 mm. Karon nga kita kuwentahon ang dapit sa usa ka duhálid triangle: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) ²⁾ = √2985,9375 = 54.644 mm ^2. Adunay upat ka triangles, mao nga sa diha pagkalkulo sa kataposang numero kinahanglan nga modaghan sa 4.

Nakuha: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 ^mm2.

Tubag. 267,576 gitinguha bili sa ² mm.

Task № 3

Nga kahimtang. Sa regular nga quadrangular piramide mao ang gikinahanglan aron sa kuwentahon ang dapit. Kini nailhan nga bahin sa square - 6 cm ug gitas-on - 4 cm.

Desisyon. Ang kinasayonan nga paagi sa paggamit sa pormula sa produkto sa perimeter ug sa apothem. Ang unang bili makaplagan lamang. Ang ikaduha nga ang usa ka gamay nga mas lisud.

Kita adunay sa paghinumdom sa Pythagorean ághaming ug hunahunaa ang usa ka matarung nga triangle. Kini mao ang nag-umol sa gitas-on sa mga pyramid ug sa apothem, nga mao ang handágpà. Ang ikaduha nga paa mao ang katunga sa kilid sa square, ingon sa usa ka polyhedron gitas-on mahulog sa sa tunga-tunga niini.

Gipaboran apothem (ang handágpà sa usa ka matarung triangle) mao ang katumbas sa √ (Marso ² + 4 ²⁾ = 5 (cm).

Karon kini mao ang posible nga sa kuwentahon sa gitinguha nga bili: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 ² = 96 (cm ^2).

Tubag. 96 cm ^2.

Problema № 4

Nga kahimtang. Dana regular nga unom ka kilid piramide. Sa mga kiliran sa tungtunganan niini nga sama ngadto sa 22 mm, ang lateral sulab - 61 mm. Unsa ang dapit sa mga lateral nawong sa polyhedron niini?

Desisyon. Ang pangatarungan sa niini mao ang mga sama nga sama sa gihulagway diha sa buluhaton №2. Lamang sa piramide gihatag didto sa square sa base, ug karon kini mao ang usa ka heksagon.

Ang unang lakang mao ang kalkulado sa base nga dapit sa pormula sa ibabaw ^{(6 * 22 2) / (} 4 * GK (180º / 6)) = 726 / (tg30º) = 726√3 ^cm2.

Karon kamo kinahanglan nga sa pagpangita sa katunga-nga-perimeter sa usa ka duhálid triyanggulo, nga mao ang usa ka kilid sa nawong. (22 + 61 * 2) :. = 72 cm 2 nagpabilin ni Heron pormula sa pagkalkulo sa dapit sa matag usa sa mga triangle, ug unya padaghanon kini sa unom ka pilo, ug ang usa nga nahimo gikan sa base.

Kalkulasyon ni Heron pormula: √ (72 * (72-22) * ( 72-61) 2) = √435600 = 660 cm ^2. Ang mga kalkulasyon nga paghatag og lateral nga dapit nawong: 660 * 6 = 3960 cm ^2. Kini nagpabilin sa pagdugang kanila sa pagpangita sa tibook nga nawong: 5217,47≈5217 cm ^2.

Tubag. Grounds - 726√3 cm ^2, sa kilid nawong - 3960 cm ^2, ang tibuok nga dapit - 5217 cm ^2.